Inecuaciones

INECUACIONES.

En matemática, una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incógnitas en los miembros de la desigualdad.¹ ² Si la desigualdad es del tipo $<$ o $>$ se denomina inecuación en sentido estricto y si es del tipo ≤ o ≥ se denomina inecuación en sentido amplio.³

Del mismo modo en que se hace la diferencia de igualdad y ecuación, una inecuación que es válida para todas las variables se llama inecuación incondicional y las que son válidas solo para algunos valores de las variables se conocen como inecuaciones condicionales.⁴ Los valores que verifican la desigualdad, son sus soluciones.

Ejemplo de inecuación incondicional: $|x| \le |x|+|y|$ .
Ejemplo de inecuación condicional: $-2x+7<2$ .
Clasificación

Los criterios más comunes de clasificación del ejemplo: $x<0$ .
- - De dos incógnitas. Ejemplo: $x<y$ .
  - De tres incógnitas. Ejemplo: $x<y+z$ .
  - etc.
- Según la potencia de la incógnita,
  - De primer grado o lineal. Cuando el mayor exponente de la incógnita de la inecuación es uno. Ejemplo: $x+1<0$ .
  - De segundo grado o cuadrática. Cuando el mayor exponente de cualquiera de sus incógnitas es dos. Ejemplo: $x^2+1<0$ .
  - De tercer grado o cúbica. Cuando el mayor exponente de cualquiera de sus incógnitas es tres. Ejemplo: $x^3+y^2<0$ .
  - etc.
Nota: estas clasificaciones no son mutuamente excluyentes, como se muestra en el último ejemplo.
Inecuaciones de segundo grado con una incógnita

Se expresan a través de cualquiera de las desigualdades siguientes (con a, b y c números reales, y a distinto de cero):

$ax^2+bx+c < 0$
$ax^2+bx+c \le 0$
$ax^2+bx+c > 0$
$ax^2+bx+c \ge 0$
Sistema de inecuaciones[

Véase también: Programación lineal

Sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita[editar]En un sistema de inecuaciones intervienen dos o más inecuaciones. No todos los sistemas de inecuaciones tienen solución.

Es un conjunto de inecuaciones de primer grado con la misma variable:

$\left \{ \begin{array}{rcrcrcr} ax+b<0 \\ cx+d \ge 0 \\ ... \\ lx+m>0 \\ \end{array} \right .$

La solución del sistema será el conjunto de números reales que verifican a la vez todas las inecuaciones.

1Resolver las siguientes inecuaciones

2Resuelve el sistema: sistema

3Resolver las inecuaciones:

17x² + 21x − 28 < 0

2−x² + 4x − 7 < 0

4Resuelve:

2x⁴ − 25x² + 144 < 0

3x⁴ − 16x² − 225 ≥ 0

5Resolver las inecuaciones:

Las inecuaciones

son desigualdades algebraicas en la que sus dos miembros se relacionan por uno de estos signos:

<	menor que	2x − 1 < 7
≤	menor o igual que	2x − 1 ≤ 7
>	mayor que	2x − 1 > 7
≥	mayor o igual que	2x − 1 ≥ 7

La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que la verifica.

La solución de la inecuación se expresa mediante:

1. Una representación gráfica.

2. Un intervalo.

2x − 1 < 7

2x < 8 x < 4

(-∞, 4)

2x − 1 ≤ 7

2x ≤ 8 x ≤ 4

(-∞, 4]

2x − 1 > 7

2x > 8 x > 4

(4, ∞)

2x − 1 ≥ 7

2x ≥ 8 x ≥ 4

[4, ∞)

Inecuaciones equivalentes

Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número, la inecuación resultante es equivalente a la dada.

3x + 4 < 5 3x + 4 − 4 < 5 − 4 3x < 1

Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número positivo, la inecuación resultante es equivalente a la dada.

2x < 6 2x : 2 < 6 : 2 x < 3

Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número negativo, la inecuación resultante cambia de sentidoy es equivalente a la dada.

−x < 5 (−x) · (−1) > 5 · (−1) x > −5

Inecuaciones de primer grado

Inecuaciones de primer grado con una incógnita

1º Quitar corchetes y paréntesis.

2º Quitar denominadores.

3º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro.

4º Efectuar las operaciones

5º Si el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.

6º Despejamos la incógnita.

7º Expresar la solución de forma gráfica y con un intervalo.

[3, +∞)

Inecuaciones de segundo grado

Consideremos la inecuación:

x² − 6x + 8 > 0

La resolveremos aplicando los siguientes pasos:

1ºIgualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

x² − 6x + 8 = 0

2º Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

P(0) = 0²− 6 · 0 + 8 > 0

P(3) = 3²− 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0

P(5) = 5²− 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0

3º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.

S = (-∞, 2) Unión

(4, ∞)

x² + 2x +1 ≥ 0

x² + 2x +1 = 0

(x + 1)² ≥ 0

Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es

		Solución
x² + 2x +1 ≥ 0	(x + 1)² ≥ 0
x² + 2x +1 > 0	(x + 1)² > 0
x² + 2x +1 ≤ 0	(x + 1)² ≤ 0	x = − 1
x² + 2x +1 < 0	(x + 1)² < 0

x² + x +1 > 0

x² + x +1 = 0

Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio cualquier valor si:

El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es

El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución.

	Solución
x² + x +1 ≥ 0
x² + x +1 > 0
x² + x +1 ≤ 0
x² + x +1 < 0

Inecuaciones racionales

Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo similar a las desegundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero.

1º Hallamos las raíces del numerador y del denominador.

x − 2 = 0 x = 2

x − 4 = 0 x = 4

2º Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.

3ºTomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo: